Granica √(n² + 4n) − n - wyrażenie sprzężone

Krok 1. Rozpoznajemy symbol. Obie części dążą do $+\infty$, więc mamy symbol nieoznaczony $\infty - \infty$. Trzeba przekształcić wyrażenie.

Krok 2. Mnożymy i dzielimy przez wyrażenie sprzężone $\sqrt{n^2 + 4n} + n$ (korzystamy z $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$):

$\sqrt{n^2 + 4n} - n = \frac{(n^2 + 4n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 4n} + n} = \frac{4n}{\sqrt{n^2 + 4n} + n}$

Krok 3. Dzielimy licznik i mianownik przez $n$ (pod pierwiastkiem to dzielenie przez $n^2$):

$\frac{4n}{\sqrt{n^2 + 4n} + n} = \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1} \longrightarrow \frac{4}{1 + 1} = 2$

Odpowiedź. Granica wynosi $2$.

Sprawdzenie liczbowe dla $n = 20$: $\sqrt{480} - 20 \approx 1{,}909$, a dla $n = 1000$: $\sqrt{1\,004\,000} - 1000 \approx 1{,}998$. Błędne „$\infty - \infty = 0$” dałoby zero.