Granica (3n + cos n)/(n + 2) - twierdzenie o trzech ciągach

Krok 1. Szacujemy licznik. Ciąg $\cos n$ nie ma granicy, ale jest ograniczony: $-1 \leq \cos n \leq 1$. Zatem $3n - 1 \leq 3n + \cos n \leq 3n + 1$, a po podzieleniu przez dodatnie $n + 2$:

$\frac{3n - 1}{n + 2} \leq \frac{3n + \cos n}{n + 2} \leq \frac{3n + 1}{n + 2}$

Krok 2. Liczymy granice ciągów skrajnych (dzielenie przez $n$):

$\frac{3n - 1}{n + 2} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \to 3 \qquad \frac{3n + 1}{n + 2} = \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \to 3$

Krok 3. Twierdzenie o trzech ciągach. Ciąg środkowy jest „ściśnięty” między dwoma ciągami o granicy $3$, więc też dąży do $3$.

Odpowiedź. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n + \cos n}{n + 2} = 3$.

Inny sposób: po podzieleniu przez $n$ dostajemy $\dfrac{3 + \frac{\cos n}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$, a $\frac{\cos n}{n} \to 0$ - ale to też wymaga twierdzenia o trzech ciągach ($-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac{1}{n}$).