Granica ((n + 2)² − (n − 1)²)/(6n + 1) - licznik traci n²

Krok 1. Upraszczamy licznik ze wzorów skróconego mnożenia:

$(n + 2)^2 - (n - 1)^2 = (n^2 + 4n + 4) - (n^2 - 2n + 1) = 6n + 3$

Składniki $n^2$ się redukują - licznik jest stopnia pierwszego, a nie drugiego.

Krok 2. Dzielimy przez $n$:

$\frac{6n + 3}{6n + 1} = \frac{6 + \frac{3}{n}}{6 + \frac{1}{n}}$

Krok 3. $\frac{3}{n} \to 0$ i $\frac{1}{n} \to 0$, więc granica wynosi $\frac{6}{6} = 1$.

Odpowiedź. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{(n + 2)^2 - (n - 1)^2}{6n + 1} = 1$.

Uwaga na pułapkę: kto bez rozwinięcia uzna, że „w liczniku jest $n^2$, a w mianowniku $n$”, dostanie błędnie $+\infty$. Licznik można też uprościć wzorem na różnicę kwadratów: $(n + 2 - n + 1)(n + 2 + n - 1) = 3(2n + 1)$.