Granica (2ⁿ⁺¹ + 5ⁿ)/(5ⁿ⁺¹ − 3ⁿ) - potęgi o różnych podstawach

Krok 1. Rozpisujemy potęgi z przesuniętym wykładnikiem: $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n$ i $5^{n+1} = 5 \cdot 5^n$.

$\frac{2 \cdot 2^n + 5^n}{5 \cdot 5^n - 3^n}$

Krok 2. Dzielimy przez potęgę o największej podstawie z mianownika, czyli $5^n$:

$\frac{2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n + 1}{5 - \left(\frac{3}{5}\right)^n}$

Krok 3. Ponieważ $\left|\frac{2}{5}\right| < 1$ i $\left|\frac{3}{5}\right| < 1$, obie potęgi dążą do zera:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n + 1}{5 - \left(\frac{3}{5}\right)^n} = \frac{0 + 1}{5 - 0} = \frac{1}{5}$

Odpowiedź. Granica wynosi $\dfrac{1}{5}$.

Częsty błąd to dzielenie przez $2^n$ lub $3^n$: wtedy zostają potęgi $\left(\frac{5}{2}\right)^n$, które rosną do nieskończoności, i rachunek się nie domyka.