Granica (1 + 2 + 3 + … + n)/n² - suma ciągu arytmetycznego w liczniku

Krok 1. Zamieniamy sumę na wzór. Licznik to suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o $a_1 = 1$ i $a_n = n$:

$1 + 2 + \ldots + n = \frac{(1 + n) \cdot n}{2} = \frac{n^2 + n}{2}$

Krok 2. Zapisujemy ciąg jako iloraz wielomianów:

$\frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2} = \frac{n^2 + n}{2n^2}$

Krok 3. Dzielimy przez $n^2$:

$\frac{n^2 + n}{2n^2} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} \longrightarrow \frac{1}{2}$

Odpowiedź. Granica wynosi $\dfrac{1}{2}$.

Pułapka: „każdy składnik $\frac{k}{n^2}$ dąży do zera, więc suma dąży do zera” - błąd. Liczba składników rośnie razem z $n$, a twierdzenie o granicy sumy dotyczy stałej liczby składników.