Dla jakich m nierówność x² − 2x + m > 0 jest spełniona zawsze

Krok 1. Interpretacja. Ramiona paraboli idą w górę ($a = 1 > 0$), więc wykres leży w całości nad osią $OX$ dokładnie wtedy, gdy funkcja nie ma miejsc zerowych, czyli $\Delta < 0$.

Krok 2. Delta.

$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m.$

Krok 3. Nierówność.

$4 - 4m < 0 \quad\Longrightarrow\quad 4m > 4 \quad\Longrightarrow\quad m > 1.$

Sprawdzenie. Dla $m = 2$: $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \ge 1 > 0$ - istotnie zawsze dodatnie. Dla $m = 1$ dostajemy $(x-1)^2$, które dla $x = 1$ jest równe zeru - warunek ostrej nierówności nie byłby spełniony, więc $m = 1$ słusznie odpada.

Odpowiedź. $m \in (1;\ +\infty)$.