Parametr przy x²: (m − 2)x² + 2x + 1 = 0 z jednym rozwiązaniem

Parametr stoi przy $x^2$, więc równanie nie musi być kwadratowe - trzeba rozważyć dwa przypadki.

Przypadek 1: $m = 2$. Wtedy współczynnik przy $x^2$ znika i równanie przyjmuje postać

$2x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{1}{2}.$

To równanie liniowe z dokładnie jednym rozwiązaniem - wartość $m = 2$ pasuje.

Przypadek 2: $m \ne 2$. Równanie jest kwadratowe, więc jedno rozwiązanie oznacza $\Delta = 0$:

$\Delta = 2^2 - 4(m-2) \cdot 1 = 4 - 4m + 8 = 12 - 4m.$

$12 - 4m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 3.$

Wartość $m = 3$ spełnia założenie $m \ne 2$, więc jest poprawna.

Sprawdzenie. Dla $m = 3$: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0$, czyli $x = -1$ - jedno rozwiązanie.

Odpowiedź. $m = 2$ lub $m = 3$.