Dla jakich m pierwiastki równania mają różne znaki

Krok 1. Warunek na znaki. Pierwiastki mają różne znaki dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn jest ujemny. Ze wzorów Viète’a:

$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m + 1.$

Krok 2. Nierówność.

$m + 1 < 0 \quad\Longrightarrow\quad m < -1.$

Krok 3. Sprawdzamy deltę. Formalnie pierwiastki muszą istnieć, więc potrzeba $\Delta > 0$:

$\Delta = (m-2)^2 - 4(m+1) = m^2 - 4m + 4 - 4m - 4 = m^2 - 8m = m(m-8).$

Dla $m < -1$ mamy $m < 0$ oraz $m - 8 < 0$, więc iloczyn $m(m-8)$ jest dodatni - warunek $\Delta > 0$ jest spełniony automatycznie i nie zawęża odpowiedzi.

Ogólna zasada. Gdy iloczyn pierwiastków jest ujemny, delta zawsze wychodzi dodatnia - bo $\Delta = b^2 - 4ac$, a przy $\frac{c}{a} < 0$ składnik $-4ac$ jest dodatni.

Sprawdzenie. Dla $m = -2$ równanie ma postać $x^2 - 4x - 1 = 0$; iloczyn pierwiastków wynosi $-1 < 0$, więc mają różne znaki. Zgadza się.

Odpowiedź. $m \in (-\infty;\ -1)$.