Paradoks dwojga dzieci - co najmniej jeden chłopiec, jaka szansa na dwóch chłopców?

Krok 1. Przestrzeń. Zapisujemy płeć dzieci w kolejności (starsze, młodsze), C - chłopiec, D - dziewczynka:

$\Omega = \{(C,C), (C,D), (D,C), (D,D)\}, \qquad |\Omega| = 4.$

Wszystkie cztery wyniki są jednakowo prawdopodobne. Para $(C,D)$ i para $(D,C)$ to dwie różne rodziny: w jednej starszy jest syn, w drugiej córka.

Krok 2. Punkt a). $A$ - oboje to chłopcy: $A = \{(C,C)\}$. $B$ - co najmniej jeden chłopiec: $B = \{(C,C), (C,D), (D,C)\}$, $|B| = 3$. Ponieważ $A \subset B$, mamy $A \cap B = A$, więc

$P(A \mid B) = \frac{|A \cap B|}{|B|} = \frac{1}{3}.$

Krok 3. Punkt b). $E$ - starsze dziecko jest chłopcem: $E = \{(C,C), (C,D)\}$, $|E| = 2$.

$P(A \mid E) = \frac{|A \cap E|}{|E|} = \frac{1}{2}.$

Krok 4. Skąd różnica. Informacja „starsze to chłopiec” mówi coś o konkretnym dziecku - płeć młodszego pozostaje rzutem monetą. Informacja „co najmniej jeden chłopiec” wyklucza tylko rodzinę $(D,D)$ i zostawia trzy równoprawne układy, z których jedynie jeden ma dwóch synów.

Pułapka. Odpowiedź $\tfrac{1}{2}$ w punkcie a) powstaje, gdy wynik zapisuje się jako zbiór „dwóch chłopców / chłopiec i dziewczynka / dwie dziewczynki” i uznaje te trzy możliwości za jednakowo prawdopodobne. Tak nie jest: „chłopiec i dziewczynka” zdarza się dwa razy częściej niż „dwóch chłopców”.

Odpowiedź. a) $\dfrac{1}{3}$; b) $\dfrac{1}{2}$.