Granice jednostronne z wykresu i ze wzoru - funkcja ze skokiem w punkcie 1

Krok 1. Granica lewostronna. Dla $x < 1$ obowiązuje wzór $x^2 - 2x$ (wielomian - podstawiamy):

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$

Krok 2. Granica prawostronna. Dla $x > 1$ obowiązuje wzór $2 - x$:

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 - 1 = 1$

Krok 3. Wartość w punkcie. Punkt $1$ należy do pierwszego przedziału ($x \leq 1$), więc $f(1) = 1 - 2 = -1$. Na wykresie to pełna kropka $(1, -1)$; puste kółko $(1, 1)$ to koniec drugiego kawałka, który do wykresu nie należy.

Krok 4. Wniosek. Granice jednostronne są różne ($-1 \neq 1$), więc granica w punkcie $1$ nie istnieje. Wykres ma tu skok o wysokości $2$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -1$, $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 1$, $f(1) = -1$; granica $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ nie istnieje.

Pułapka: to, że $f(1)$ jest równe granicy lewostronnej, nie ratuje granicy obustronnej. Liczą się obie strony punktu, a wartość w samym punkcie nie ma znaczenia.