Granica prawostronna na końcu dziedziny - iloraz pierwiastków przy x → 2⁺

Krok 1. Dziedzina. Pod pierwszym pierwiastkiem: $x - 2 \geq 0$, czyli $x \geq 2$. Drugi pierwiastek stoi w mianowniku, więc wyrażenie pod nim musi być dodatnie: $x^2 - 4 > 0$, czyli $x < -2$ lub $x > 2$. Część wspólna obu warunków:

$D_f = (2;\ +\infty)$

Krok 2. Dlaczego tylko prawostronna. Na lewo od $2$ (np. dla $x = 1{,}9$) funkcja nie jest określona - nie ma żadnych argumentów $x < 2$ z dziedziny, przez które można by podejść do $2$. Granica lewostronna nie ma więc sensu, a punkt $2$ jest końcem dziedziny.

Krok 3. Symbol. Przy $x \to 2^+$ licznik i mianownik dążą do $0$ - symbol $\frac{0}{0}$.

Krok 4. Przekształcamy. Dla $x > 2$ oba wyrażenia pod pierwiastkami są dodatnie, więc wolno skorzystać z $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ dla $a, b \geq 0$:

$\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{(x - 2)(x + 2)} = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$

Po skróceniu przez $\sqrt{x - 2} \neq 0$:

$f(x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$

Krok 5. Podstawiamy. Funkcja $\frac{1}{\sqrt{x + 2}}$ jest określona i ciągła w punkcie $2$:

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Odpowiedź. a) $D_f = (2;\ +\infty)$; na lewo od $2$ funkcja nie istnieje. b) $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{2}$.

Pułapka: wzór $\sqrt{(x - 2)(x + 2)} = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$ nie działa dla $x < -2$ (oba czynniki ujemne) - tu jest poprawny, bo liczymy granicę przy $x > 2$.