Dwa parametry w funkcji sklejanej z trzech wzorów - granice w punktach 0 i 2

Krok 1. Punkt $0$ - granice jednostronne. Na lewo od $0$ działa wzór $x - 2a$, na prawo - $x^2 + bx + 4$ (oba to wielomiany zmiennej $x$, więc podstawiamy):

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 - 2a = -2a, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 + 0 + 4 = 4$

Krok 2. Warunek w punkcie $0$. Granica istnieje, gdy $-2a = 4$, czyli $a = -2$. Ten warunek nie zależy od $b$, więc $a$ jest wyznaczone jednoznacznie.

Krok 3. Punkt $2$ - granice jednostronne. Na lewo od $2$ działa wzór środkowy, na prawo - $ax + 10$:

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4 + 2b + 4 = 8 + 2b, \qquad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2a + 10$

Krok 4. Warunek w punkcie $2$. Wstawiamy $a = -2$: prawostronna granica to $-4 + 10 = 6$, więc

$8 + 2b = 6 \iff b = -1$

Krok 5. Sprawdzenie. Dla $a = -2$, $b = -1$ funkcja ma postać $x + 4$, $x^2 - x + 4$ i $-2x + 10$. W punkcie $0$: $4$ z obu stron. W punkcie $2$: $4 - 2 + 4 = 6$ z lewej i $-4 + 10 = 6$ z prawej.

Odpowiedź. $a = -2$, $b = -1$. Granice wynoszą wtedy $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 4$ i $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 6$.

Uwaga o kolejności. Warto zacząć od punktu, w którym warunek zawiera tylko jeden parametr (tu: punkt $0$ daje od razu $a$). Gdyby oba warunki zawierały oba parametry, trzeba by rozwiązać układ dwóch równań.