Granice jednostronne ułamka z wartością bezwzględną |x + 2|/(x² + 2x)

Krok 1. Dziedzina i symbol. Mianownik $x^2 + 2x = x(x + 2)$ zeruje się dla $x = 0$ i $x = -2$, więc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0\}$. Podstawienie $x = -2$ daje $\frac{0}{0}$. W pobliżu $-2$ (np. dla $x \in (-3;\ -1)$ bez $-2$) funkcja jest określona, więc granice mają sens.

Krok 2. Rozpisujemy moduł. Wyrażenie $x + 2$ zmienia znak w punkcie $-2$:

• dla $x > -2$: $|x + 2| = x + 2$,
• dla $x < -2$: $|x + 2| = -(x + 2)$.

Krok 3. Granica prawostronna ($x \to -2^+$, czyli $x > -2$). Skracamy $(x + 2) \neq 0$:

$\lim_{x \to -2^+} \frac{x + 2}{x(x + 2)} = \lim_{x \to -2^+} \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$

Krok 4. Granica lewostronna ($x < -2$):

$\lim_{x \to -2^-} \frac{-(x + 2)}{x(x + 2)} = \lim_{x \to -2^-} \left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2}$

Krok 5. Wniosek. $\frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$, więc granica obustronna nie istnieje.

Kontrola liczbowa. $f(-2{,}01) = \frac{0{,}01}{4{,}0401 - 4{,}02} = \frac{0{,}01}{0{,}0201} \approx 0{,}4975$, a $f(-1{,}99) = \frac{0{,}01}{3{,}9601 - 3{,}98} = \frac{0{,}01}{-0{,}0199} \approx -0{,}5025$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -2^-} f(x) = \frac{1}{2}$, $\lim\limits_{x \to -2^+} f(x) = -\frac{1}{2}$; granica $\lim\limits_{x \to -2} f(x)$ nie istnieje.

Pułapka: odruchowe „skrócenie” $|x + 2|$ z $(x + 2)$ daje tylko wynik prawostronny. Moduł można opuścić dopiero po ustaleniu znaku wyrażenia w środku.