Parametr m w funkcji sklejanej - kiedy istnieje granica w punkcie −1

Krok 1. Granica lewostronna - wzór dla $x < -1$, wielomian zmiennej $x$ (podstawiamy):

$\lim_{x \to -1^-} (mx + 2) = -m + 2$

Krok 2. Granica prawostronna - wzór dla $x > -1$:

$\lim_{x \to -1^+} (x^2 + m) = 1 + m$

Krok 3. Warunek istnienia granicy. Granica w punkcie $-1$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie granice jednostronne są równe:

$-m + 2 = 1 + m \iff 1 = 2m \iff m = \frac{1}{2}$

Równanie jest liniowe i ma dokładnie jedno rozwiązanie, więc dla każdego innego $m$ granice jednostronne się różnią i granica nie istnieje.

Krok 4. Wartość granicy. Dla $m = \frac{1}{2}$ obie granice jednostronne wynoszą $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ (sprawdzenie z lewej: $-\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$).

Odpowiedź. Granica istnieje tylko dla $m = \frac{1}{2}$ i wynosi $\frac{3}{2}$.

Pułapka: przy podstawianiu $x = -1$ do $mx + 2$ łatwo zgubić znak i napisać $m + 2$ - wtedy równanie $m + 2 = 1 + m$ jest sprzeczne i wychodzi błędny wniosek, że granica nie istnieje dla żadnego $m$.