Czy istnieje parametr a, dla którego (x² − ax + 2)/|x − 2| ma granicę w 2?

Krok 1. Co się dzieje z mianownikiem. Przy $x \to 2$ mianownik $|x - 2|$ dąży do $0$, i to przez wartości dodatnie - z obu stron.

Krok 2. Licznik musi dążyć do zera. Licznik to wielomian, więc jego granica w punkcie $2$ to $4 - 2a + 2 = 6 - 2a$. Gdyby $6 - 2a \neq 0$, iloraz miałby postać „liczba różna od zera przez coraz mniejszą liczbę dodatnią” - jego wartość bezwzględna rosłaby ponad każdą liczbę i granica nie byłaby skończona. Zatem jedyną szansą jest

$6 - 2a = 0 \iff a = 3$

Krok 3. Przypadek $a = 3$. Licznik to $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$, więc

$f(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{|x - 2|}$

Krok 4. Granica prawostronna ($x > 2$, $|x - 2| = x - 2$):

$\lim_{x \to 2^+} \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x - 1) = 1$

Krok 5. Granica lewostronna ($x < 2$, $|x - 2| = -(x - 2)$):

$\lim_{x \to 2^-} \frac{(x - 1)(x - 2)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} \big(-(x - 1)\big) = -1$

Krok 6. Wniosek. Dla $a = 3$ granice jednostronne są różne ($-1$ i $1$), więc granicy nie ma. Dla $a \neq 3$ nie ma granicy skończonej (krok 2). Innych możliwości nie ma.

Odpowiedź. Nie istnieje taka liczba $a$. Dla $a \neq 3$ wartości funkcji uciekają do nieskończoności, a dla $a = 3$ granice jednostronne wynoszą $-1$ i $1$.

Pułapka: po znalezieniu $a = 3$ z warunku „$\frac{0}{0}$” kusi, żeby od razu podać odpowiedź. Warunek $\frac{0}{0}$ jest jednak tylko konieczny - trzeba jeszcze policzyć granice jednostronne, a moduł w mianowniku sprawia, że mają przeciwne znaki.