Granica funkcji sklejanej z prostej i paraboli w punkcie 2

Krok 1. Który wzór do której granicy. Granica lewostronna bierze pod uwagę tylko $x < 2$, więc liczymy ją ze wzoru $3x - 1$. Granica prawostronna bierze tylko $x > 2$ - tu obowiązuje wzór $x^2 + 1$.

Krok 2. Granica lewostronna. $3x - 1$ to wielomian, więc granicę obliczamy przez podstawienie:

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x - 1) = 3 \cdot 2 - 1 = 5$

Krok 3. Granica prawostronna. Też wielomian:

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 + 1) = 4 + 1 = 5$

Krok 4. Porównanie. Obie granice jednostronne istnieją i są równe $5$. Z twierdzenia o granicach jednostronnych granica w punkcie $2$ istnieje i wynosi $5$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = 5$, więc $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5$.

Uwaga. Wartość $f(2) = 5$ też jest równa granicy - kawałki wykresu łączą się w punkcie $(2, 5)$ bez przerwy. Do samego obliczenia granicy wartość $f(2)$ nie była jednak potrzebna.