Dziedzina funkcji f(x) = sin x / (2cos x + 1) oraz g(x) = tg(2x − π/3)

Krok 1. a) Warunek. Mianownik nie może być zerem:

$2\cos x + 1 \ne 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x \ne -\frac{1}{2}.$

Krok 2. a) Gdzie cosinus jest równy $-\frac{1}{2}$. Wiemy, że $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Cosinus jest ujemny w II i III ćwiartce, a wartości $-\frac{1}{2}$ odpowiadają kąty odległe o $\frac{\pi}{3}$ od $\pi$:

$x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \qquad \text{oraz} \qquad x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.$

To są jedyne takie liczby w przedziale $\langle 0;\ 2\pi)$. Cosinus ma okres $2\pi$, więc wszystkie rozwiązania to

$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \qquad \text{lub} \qquad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Uwaga: łatwo zgubić drugą serię. Okres cosinusa to $2\pi$, więc w każdym pełnym obrocie są dwie wykluczone liczby, a nie jedna co $\pi$.

Krok 3. b) Warunek. Tangens nie istnieje, gdy jego argument jest postaci $\frac{\pi}{2} + k\pi$:

$2x - \frac{\pi}{3} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi.$

Krok 4. b) Przekształcamy. Dodajemy $\frac{\pi}{3}$ i dzielimy przez $2$:

$2x \ne \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k\pi = \frac{5\pi}{6} + k\pi \qquad \Longrightarrow \qquad x \ne \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}.$

Sprawdzenie dla $k = 0$: $2 \cdot \frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ - tangens rzeczywiście tu nie istnieje. Wykluczone liczby leżą co $\frac{\pi}{2}$, bo dzielimy przez $2$ także składnik $k\pi$.

Odpowiedź. a) $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,\ \frac{4\pi}{3} + 2k\pi : k \in \mathbb{Z} \right\}$; b) $D_g = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} : k \in \mathbb{Z} \right\}$.