Monotoniczność i wartości skrajne f(x) = 2cos x − 1 w przedziale ⟨−π; 2π⟩
Szkoła średniaśrednie
Funkcja f(x)=2cosx−1 jest określona w przedziale ⟨−π;2π⟩.
a) Podaj przedziały, w których f jest rosnąca, i przedziały, w których jest malejąca.
b) Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji oraz argumenty, dla których są przyjmowane.
c) Wyznacz miejsca zerowe funkcji.
Rozwiązanie
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
Krok 1. Monotoniczność cosinusa. Cosinus rośnie w przedziałach ⟨−π+2kπ;2kπ⟩ i maleje w ⟨2kπ;π+2kπ⟩. W przedziale ⟨−π;2π⟩ oznacza to: rośnie w ⟨−π;0⟩, maleje w ⟨0;π⟩, rośnie w ⟨π;2π⟩.
Krok 2. Wpływ przekształceń. Mnożenie przez dodatnią liczbę 2 i odjęcie 1 nie zmieniają kierunku zmian: gdy cosx rośnie, rośnie też 2cosx−1. Funkcja f ma więc te same przedziały monotoniczności co cosinus.
Krok 3. Wartości skrajne. Ponieważ −1≤cosx≤1, mamy
−2−1≤2cosx−1≤2−1,czyli−3≤f(x)≤1.
Wartość 1 wymaga cosx=1: w przedziale ⟨−π;2π⟩ dla x=0 i x=2π. Wartość −3 wymaga cosx=−1: dla x=−π i x=π. Oba końce przedziału należą do dziedziny, więc x=−π i x=2π się liczą.
Krok 4. Miejsca zerowe. Rozwiązujemy
2cosx−1=0⟺cosx=21.
W przedziale ⟨0;2π⟩ są to x=3π i x=2π−3π=35π. Cosinus jest parzysty, więc w części ujemnej mamy jeszcze x=−3π. Liczba −35π jest już mniejsza niż −π, więc odpada.
Wykres f(x) = 2cos x − 1 w przedziale ⟨−π; 2π⟩. Wartość największa 1 dla x = 0 i x = 2π, najmniejsza −3 dla x = −π i x = π.
Odpowiedź. a) f jest rosnąca w ⟨−π;0⟩ oraz w ⟨π;2π⟩, malejąca w ⟨0;π⟩. b) Wartość największa 1 dla x=0 i x=2π; wartość najmniejsza −3 dla x=−π i x=π. c) x∈{−3π,3π,35π}.
