Parzystość funkcji f(x) = x²cos x, g(x) = x + tg x, h(x) = x cos x + 1

Krok 1. Co sprawdzamy. Funkcja jest parzysta, gdy jej dziedzina jest symetryczna względem zera i $f(-x) = f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny; nieparzysta - gdy dziedzina jest symetryczna i $f(-x) = -f(x)$. Korzystamy z $\cos(-x) = \cos x$ oraz $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$.

Krok 2. a) Dziedzina to $\mathbb{R}$, więc jest symetryczna. Liczymy:

$f(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos x = f(x).$

Funkcja $f$ jest parzysta (iloczyn dwóch funkcji parzystych).

Krok 3. b) Dziedzina. Tangens wymaga $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$. Ten zbiór jest symetryczny: liczba przeciwna do $\frac{\pi}{2} + k\pi$ to $-\frac{\pi}{2} - k\pi = \frac{\pi}{2} + (-k-1)\pi$, czyli znów liczba tej postaci. Jeśli więc $x$ należy do dziedziny, to $-x$ też.

Krok 4. b) Wzór:

$g(-x) = -x + \operatorname{tg}(-x) = -x - \operatorname{tg} x = -(x + \operatorname{tg} x) = -g(x).$

Funkcja $g$ jest nieparzysta (suma dwóch funkcji nieparzystych).

Krok 5. c) Nie jest nieparzysta. Funkcja nieparzysta określona w zerze musi mieć $h(0) = -h(0)$, czyli $h(0) = 0$. Tymczasem $h(0) = 0 \cdot 1 + 1 = 1$.

Krok 6. c) Nie jest parzysta. Wystarczy jeden kontrprzykład. Dla $x = \pi$:

$h(\pi) = \pi \cdot (-1) + 1 = 1 - \pi, \qquad h(-\pi) = (-\pi)\cdot(-1) + 1 = 1 + \pi.$

Ponieważ $1 + \pi \ne 1 - \pi$, warunek $h(-x) = h(x)$ nie zachodzi.

Uwaga: składnik $x\cos x$ sam jest nieparzysty, ale dodanie stałej $1$ psuje tę symetrię - wykres przesunięty w górę nie jest już symetryczny względem punktu $(0, 0)$.

Odpowiedź. a) $f$ jest parzysta; b) $g$ jest nieparzysta; c) $h$ nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.