Okres podstawowy funkcji sin 4x, cos(x/3), tg(x/2) i ctg 3x

Krok 1. Reguła. Sinus i cosinus mają okres podstawowy $2\pi$, więc funkcje $y = \sin(kx)$ i $y = \cos(kx)$ mają okres podstawowy $\frac{2\pi}{|k|}$. Tangens i cotangens mają okres $\pi$, więc $y = \operatorname{tg}(kx)$ i $y = \operatorname{ctg}(kx)$ mają okres $\frac{\pi}{|k|}$. Skąd to się bierze, widać na przykładzie a).

Krok 2. a) $f(x) = \sin 4x$. Argument $4x$ musi wzrosnąć o $2\pi$, czyli $x$ - o $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Sprawdzamy z definicji:

$f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(4x + 2\pi\right) = \sin 4x = f(x).$

Mniejszego dodatniego okresu nie ma: $\sin 4x = 1$ tylko dla $4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, czyli $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$ - kolejne takie punkty dzieli właśnie $\frac{\pi}{2}$.

Krok 3. b) $g(x) = \cos\frac{x}{3}$. Tu $k = \frac{1}{3}$:

$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi, \qquad g(x + 6\pi) = \cos\left(\frac{x}{3} + 2\pi\right) = \cos\frac{x}{3}.$

Wykres jest rozciągnięty trzy razy w poziomie, więc okres jest trzy razy dłuższy niż $2\pi$.

Krok 4. c) $h(x) = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Tangens ma okres $\pi$, nie $2\pi$:

$T = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi, \qquad h(x + 2\pi) = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} + \pi\right) = \operatorname{tg}\frac{x}{2}.$

Uwaga: wzór „$\frac{2\pi}{|k|}$” dałby tu $4\pi$ - to też jest okres, ale nie podstawowy.

Krok 5. d) $p(x) = \operatorname{ctg} 3x$:

$T = \frac{\pi}{3}, \qquad p\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}(3x + \pi) = \operatorname{ctg} 3x.$

Odpowiedź. a) $\frac{\pi}{2}$, b) $6\pi$, c) $2\pi$, d) $\frac{\pi}{3}$.