Równanie 2sin x + √3 = 0 w przedziale ⟨−2π; 2π⟩

Krok 1. Wyznaczamy sinus:

$2\sin x = -\sqrt{3} \quad \Longrightarrow \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Krok 2. Kąt odniesienia i ćwiartki. Wiemy, że $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Szukamy wartości ujemnej, a sinus jest ujemny w III i IV ćwiartce.

Krok 3. Rozwiązania w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$. Ze wzorów redukcyjnych $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ oraz $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$:

$x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}, \qquad x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.$

Krok 4. Część ujemna przedziału. Sinus ma okres $2\pi$, więc odejmujemy $2\pi$ od każdego rozwiązania:

$\frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}, \qquad \frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}.$

Obie liczby leżą w $\langle -2\pi;\ 0\rangle$. Kolejne odjęcie $2\pi$ daje $-\frac{8\pi}{3}$ i $-\frac{7\pi}{3}$, czyli liczby mniejsze niż $-2\pi$, a dodanie $2\pi$ do $\frac{4\pi}{3}$ wychodzi poza $2\pi$. Innych rozwiązań nie ma.

Krok 5. Sprawdzenie jednego z wyników. $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (sinus jest nieparzysty), więc $2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{3} = 0$.

Uwaga: przedział ma długość $4\pi$, czyli dwa pełne okresy - stąd cztery rozwiązania, a nie dwa. Częsty błąd to podanie samych $\frac{4\pi}{3}$ i $\frac{5\pi}{3}$ albo wzięcie $x = \frac{\pi}{3}$, dla którego sinus jest dodatni.

Odpowiedź. $x \in \left\{ -\frac{2\pi}{3},\ -\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3} \right\}$.