Zbiór wartości funkcji f(x) = 3 − 2sin x i g(x) = ½cos x − 2

Krok 1. Punkt wyjścia. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi

$-1 \le \sin x \le 1, \qquad -1 \le \cos x \le 1.$

Na tych nierównościach wykonujemy kolejno te same działania, które występują we wzorze funkcji.

Krok 2. Funkcja $f$ - mnożymy przez $-2$. Mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znaki nierówności:

$-1 \le \sin x \le 1 \quad \Big/ \cdot (-2) \qquad 2 \ge -2\sin x \ge -2, \quad \text{czyli} \quad -2 \le -2\sin x \le 2.$

Krok 3. Dodajemy 3:

$-2 + 3 \le 3 - 2\sin x \le 2 + 3 \qquad \Longrightarrow \qquad 1 \le f(x) \le 5.$

Krok 4. Czy skrajne wartości są osiągane? Wartość najmniejszą $1$ funkcja przyjmuje, gdy $\sin x = 1$, czyli w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ dla $x = \frac{\pi}{2}$: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 - 2 = 1$. Wartość największą $5$ - gdy $\sin x = -1$, czyli dla $x = \frac{3\pi}{2}$: $f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 3 + 2 = 5$. Sinus przyjmuje wszystkie wartości z $\langle -1;\ 1\rangle$, więc $f$ przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.

Uwaga: przez minus przed $2\sin x$ największy sinus daje najmniejszą wartość funkcji. Częsty błąd to odpowiedź „maksimum dla $x = \frac{\pi}{2}$”.

Krok 5. Funkcja $g$ - mnożymy przez $\frac{1}{2}$ i odejmujemy 2. Mnożnik jest dodatni, więc znaki zostają:

$-1 \le \cos x \le 1 \quad \Big/ \cdot \tfrac{1}{2} \qquad -\tfrac{1}{2} \le \tfrac{1}{2}\cos x \le \tfrac{1}{2} \quad \Big/ -2 \qquad -\tfrac{5}{2} \le g(x) \le -\tfrac{3}{2}.$

Obie wartości są osiągane: $g(0) = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$ oraz $g(\pi) = -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}$.

Odpowiedź. a) Zbiór wartości $f$ to $\langle 1;\ 5\rangle$; w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ wartość najmniejsza $1$ dla $x = \frac{\pi}{2}$, największa $5$ dla $x = \frac{3\pi}{2}$. b) Zbiór wartości $g$ to $\left\langle -\frac{5}{2};\ -\frac{3}{2}\right\rangle$.