Porównaj sin 1, sin 2, sin 3 i sin 4 (radiany) bez kalkulatora

Krok 1. W której ćwiartce leży każdy kąt. Przyjmujemy $\pi \approx 3{,}14$, więc $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ i $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$:

• $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ - I ćwiartka, $\sin 1 > 0$;
• $\frac{\pi}{2} < 2 < 3 < \pi$ - II ćwiartka, $\sin 2 > 0$ i $\sin 3 > 0$;
• $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ - III ćwiartka, $\sin 4 < 0$.

Jedyna ujemna liczba to $\sin 4$ - jest najmniejsza.

Krok 2. Sprowadzamy kąty z II ćwiartki do I. Wzór redukcyjny $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ zapisany w radianach to $\sin(\pi - x) = \sin x$:

$\sin 2 = \sin(\pi - 2), \qquad \sin 3 = \sin(\pi - 3), \qquad \pi - 2 \approx 1{,}14, \quad \pi - 3 \approx 0{,}14.$

Liczby $\pi - 3$, $1$ i $\pi - 2$ leżą w przedziale $\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)$ i spełniają

$\pi - 3 < 1 < \pi - 2.$

Krok 3. Monotoniczność. W przedziale $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{2}\right\rangle$ sinus jest rosnący, więc większy argument daje większą wartość:

$\sin(\pi - 3) < \sin 1 < \sin(\pi - 2), \qquad \text{czyli} \qquad \sin 3 < \sin 1 < \sin 2.$

Krok 4. Kontrola przybliżeniami. $\sin 4 \approx -0{,}757$, $\sin 3 \approx 0{,}141$, $\sin 1 \approx 0{,}841$, $\sin 2 \approx 0{,}909$ - kolejność się zgadza.

Uwaga: to są radiany. Dla stopni kolejność byłaby inna, bo kąty $1^\circ$, $2^\circ$, $3^\circ$, $4^\circ$ są ostre i małe, a sinus rośnie: $\sin 1^\circ < \sin 2^\circ < \sin 3^\circ < \sin 4^\circ$.

Odpowiedź. $\sin 4 < \sin 3 < \sin 1 < \sin 2$.