Nierówność wykładnicza: (1/3)ˣ > 9

Krok 1. Wspólna podstawa. $9 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$, więc nierówność ma postać

$\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}.$

Krok 2. Monotoniczność. Podstawa $\frac{1}{3}$ jest mniejsza od $1$, więc funkcja $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ jest malejąca: większa wartość oznacza mniejszy argument. Przy przejściu do wykładników zwrot nierówności się zmienia:

$x < -2.$

Inny sposób. Zamiana na podstawę $3$: $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$ i $9 = 3^2$. Funkcja $3^x$ rośnie, więc $-x > 2$, czyli $x < -2$ - ten sam wynik bez zmiany zwrotu.

Sprawdzenie. Dla $x = -3$: $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 27 > 9$. $\checkmark$ Dla $x = 0$: $1 > 9$ - fałsz, zgodnie z tym, że $0$ nie należy do rozwiązania.

Odpowiedź. $x \in (-\infty, -2)$.