Kody pięciocyfrowe o różnych cyfrach z nieparzystymi końcami i zerem

Krok 1. a) Najpierw miejsca z warunkiem. Cyfry nieparzyste to $1, 3, 5, 7, 9$. Na pierwszym i ostatnim miejscu stawiamy dwie różne z nich, a kolejność się liczy (kod $1\ldots 3$ to nie to samo co $3 \ldots 1$). To wariacja bez powtórzeń:

$$V_5^2 = 5 \cdot 4 = 20.$$

Krok 2. a) Środek kodu. Na trzech środkowych miejscach stoją różne cyfry spośród $10 - 2 = 8$ niewykorzystanych (zero też, bo kod może mieć zero gdziekolwiek):

$$V_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336.$$

Krok 3. a) Reguła mnożenia.

$$20 \cdot 336 = 6720.$$

Krok 4. b) Zdarzenie przeciwne. Zero może stać tylko w środku, na jednym z trzech miejsc - liczenie wprost jest możliwe, ale łatwiej odjąć kody bez zera. W takich kodach środkowe cyfry wybieramy spośród $8 - 1 = 7$ cyfr:

$$V_5^2 \cdot V_7^3 = 20 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 20 \cdot 210 = 4200.$$

Kodów z zerem jest więc

$$6720 - 4200 = 2520.$$

Sprawdzenie wprost. Zero stawiamy na jednym z $3$ środkowych miejsc, dwa pozostałe środkowe miejsca wypełniamy różnymi cyframi spośród $7$: $20 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 6 = 2520$. Wyniki się zgadzają.

Odpowiedź. a) $6720$ kodów; b) $2520$ kodów.