Obrót prostokąta wokół prostej poza nim - walec z otworem

Krok 1. Jaka bryła powstaje. Bok długości $6$ bliższy osi leży w odległości $3$, a dalszy - w odległości $3 + 2 = 5$. Bryła to walec wydrążony: walec o promieniu $R = 5$ i wysokości $6$, z którego wycięto współosiowy walec o promieniu $r = 3$.

Krok 2. Objętość.

$$V = \pi R^2 H - \pi r^2 H = \pi \cdot 6 \cdot (25 - 9) = 96\pi.$$

Sprawdzenie z twierdzenia Pappusa: pole prostokąta $12$ razy droga jego środka (odległego o $4$ od osi): $12 \cdot 2\pi \cdot 4 = 96\pi$.

Krok 3. Pole powierzchni. Ściana zewnętrzna, ściana wewnętrzna i dwa pierścienie (górny i dolny):

$$P = 2\pi \cdot 5 \cdot 6 + 2\pi \cdot 3 \cdot 6 + 2 \cdot \pi\left(5^2 - 3^2\right) = 60\pi + 36\pi + 32\pi = 128\pi.$$

Odpowiedź. $V = 96\pi$, $P = 128\pi$.

Pułapka. Pominięcie ściany wewnętrznej ($36\pi$) - powierzchnia otworu też należy do bryły. Lekcja: bryły obrotowe - zadania różne.