Czy wyrażenie (x³ − 3x² − 4x + 12)/(x³ − 4x) może przyjąć wartość 1/2, −1/2 albo 1?

Krok 1. Dziedzina. Wyłączamy $x$ i stosujemy różnicę kwadratów:

$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) \neq 0 \iff x \notin \{-2,\ 0,\ 2\}.$

Krok 2. Rozkład licznika przez grupowanie.

$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 4) = (x - 3)(x - 2)(x + 2).$

Krok 3. Skracamy czynniki $(x - 2)$ i $(x + 2)$:

$W = \frac{(x - 3)(x - 2)(x + 2)}{x(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x}, \qquad x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}.$

Krok 4. b) Kiedy $W = 0$. Ułamek jest zerem, gdy zeruje się licznik: $x - 3 = 0$, czyli $x = 3$. Liczba $3$ należy do dziedziny, więc to jedyne rozwiązanie.

Krok 5. c) Wartość $\frac{1}{2}$. Rozwiązujemy $\frac{x - 3}{x} = \frac{1}{2}$ w dziedzinie:

$2(x - 3) = x \iff x = 6.$

$6 \in D$, więc wyrażenie przyjmuje wartość $\frac{1}{2}$ (dla $x = 6$: $\frac{216 - 108 - 24 + 12}{216 - 24} = \frac{96}{192} = \frac{1}{2}$).

Krok 6. c) Wartość $-\frac{1}{2}$.

$\frac{x - 3}{x} = -\frac{1}{2} \iff 2(x - 3) = -x \iff 3x = 6 \iff x = 2.$

Ale $x = 2$ nie należy do dziedziny - tę liczbę wyrzuciliśmy w kroku 1, choć w postaci skróconej jej nie widać. Dla $x = 2$ wyrażenie wyjściowe to $\frac{0}{0}$. Wartość $-\frac{1}{2}$ nie jest więc osiągana.

Uwaga: to dokładnie ta pułapka, przed którą chroni zapisywanie dziedziny przed skracaniem. Podobnie wartość $\frac{5}{2}$, którą postać skrócona daje dla wykluczonego $x = -2$, też nie jest osiągana.

Krok 7. c) Wartość $1$.

$\frac{x - 3}{x} = 1 \iff x - 3 = x \iff -3 = 0,$

sprzeczność - żadne $x$ nie daje wartości $1$. Widać to też z zapisu $\frac{x - 3}{x} = 1 - \frac{3}{x}$: ułamek $\frac{3}{x}$ nigdy nie jest zerem.

Odpowiedź. a) $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0,\ 2\}$, $W = \dfrac{x - 3}{x}$; b) $x = 3$; c) wartość $\frac{1}{2}$ - tak (dla $x = 6$); wartości $-\frac{1}{2}$ i $1$ - nie.