Skróć wyrażenie (x² − 7x + 10)/(x² − 25)

Krok 1. Dziedzina - przed skracaniem. Mianownik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \neq 0 \iff x \neq 5 \ \text{ i } \ x \neq -5.$

Krok 2. Rozkład licznika. Dla trójmianu $x^2 - 7x + 10$:

$\Delta = 49 - 40 = 9, \qquad x_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5,$

więc $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

Krok 3. Skracamy przez $(x - 5)$, który w dziedzinie nie jest zerem:

$\frac{(x - 2)(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x - 2}{x + 5}.$

Uwaga: liczba $5$ zniknęła z mianownika, ale nadal nie należy do dziedziny - w wyrażeniu wyjściowym dla $x = 5$ mamy $\frac{0}{0}$. Dziedzinę bierzemy zawsze z wyrażenia przed skróceniem.

Odpowiedź. $\dfrac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 25} = \dfrac{x - 2}{x + 5}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-5,\ 5\}$.