Skróć (x³ − 4x² + x + 6)/(x² − x − 2) - schemat Hornera w liczniku

Krok 1. Dziedzina. Mianownik: $\Delta = 1 + 8 = 9$, pierwiastki $x = \frac{1 - 3}{2} = -1$ i $x = \frac{1 + 3}{2} = 2$, czyli

$x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2), \qquad x \neq -1,\ x \neq 2.$

Krok 2. Szukamy pierwiastka licznika. Pierwiastków całkowitych szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego $6$. Skoro mamy coś skrócić, najpierw sprawdzamy miejsca zerowe mianownika:

$2^3 - 4 \cdot 2^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0.$

Liczba $2$ jest pierwiastkiem, więc licznik dzieli się przez $(x - 2)$.

Krok 3. Schemat Hornera dla $x = 2$:

Zatem $x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 2)(x^2 - 2x - 3)$, a trójmian ($\Delta = 4 + 12 = 16$, pierwiastki $-1$ i $3$) to $(x + 1)(x - 3)$:

$x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x + 1)(x - 2)(x - 3).$

Krok 4. Skracamy oba czynniki mianownika:

$\frac{(x + 1)(x - 2)(x - 3)}{(x + 1)(x - 2)} = x - 3.$

Wynik jest wielomianem, ale równość zachodzi tylko w dziedzinie wyrażenia wyjściowego.

Krok 5. Wartość dla $x = 10$. Liczba $10$ należy do dziedziny, więc wystarczy podstawić do postaci skróconej: $10 - 3 = 7$. Dla kontroli: $\frac{1000 - 400 + 10 + 6}{100 - 10 - 2} = \frac{616}{88} = 7$.

Odpowiedź. $\dfrac{x^3 - 4x^2 + x + 6}{x^2 - x - 2} = x - 3$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 2\}$; wartość dla $x = 10$ wynosi $7$.