Skracanie z sumą sześcianów: (x³ + 27)/(x² + x − 6)

Krok 1. Dziedzina. Rozkładamy mianownik: $\Delta = 1 + 24 = 25$,

$x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3, \qquad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2,$

więc $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ i dziedzina to $x \neq -3$, $x \neq 2$.

Krok 2. Licznik ze wzoru na sumę sześcianów. $27 = 3^3$, a $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, zatem

$x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9).$

Krok 3. Skracamy przez $(x + 3)$:

$\frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{x^2 - 3x + 9}{x - 2}.$

Krok 4. Czy skróci się coś jeszcze? Trójmian $x^2 - 3x + 9$ ma $\Delta = 9 - 36 = -27 < 0$, więc nie rozkłada się na czynniki liniowe i nie ma wspólnego czynnika z $x - 2$. Postać jest najprostsza.

Uwaga: nie wolno „skrócić” $x^2$ z $x^2$ ani $9$ z $6$ - to składniki sum, nie czynniki.

Odpowiedź. $\dfrac{x^2 - 3x + 9}{x - 2}$ dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 2\}$.