Dziedzina wyrażeń wymiernych: (x + 4)/(3x − 6), (x² − 1)/(x² − 5x), 7/(2x² + 8)

W każdym przykładzie robimy to samo: zapisujemy warunek „mianownik $\neq 0$”, szukamy liczb, które zerują mianownik, i wyrzucamy je ze zbioru $\mathbb{R}$. Na licznik nie patrzymy wcale.

Krok 1. a) Mianownik liniowy.

$3x - 6 \neq 0 \iff 3x \neq 6 \iff x \neq 2.$

Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Liczba $-4$ zeruje licznik, ale to nie przeszkadza - dla $x = -4$ wyrażenie istnieje i jest równe $0$.

Krok 2. b) Wyłączamy $x$ przed nawias.

$x^2 - 5x = x(x - 5) \neq 0 \iff x \neq 0 \ \text{ i } \ x \neq 5.$

Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{0,\ 5\}$.

Uwaga: licznik $x^2 - 1$ zeruje się dla $x = \pm 1$, ale te liczby należą do dziedziny. Typowy błąd to wyznaczanie dziedziny z licznika albo z licznika i mianownika naraz.

Krok 3. c) Mianownik bez miejsc zerowych. Kwadrat liczby nie jest ujemny, więc

$2x^2 + 8 \geq 8 > 0 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}.$

Równanie $2x^2 + 8 = 0$ nie ma rozwiązań (to samo pokazuje $\Delta = 0 - 64 < 0$), więc mianownik nigdy nie jest zerem.

Odpowiedź. a) $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$; b) $D = \mathbb{R} \setminus \{0,\ 5\}$; c) $D = \mathbb{R}$.