Skracanie czynników przeciwnych: (6x − 2x²)/(x² − 6x + 9)

Krok 1. Dziedzina. Mianownik to kwadrat różnicy:

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \neq 0 \iff x \neq 3.$

Krok 2. Rozkład licznika. Wyłączamy $2x$ przed nawias:

$6x - 2x^2 = 2x(3 - x).$

Krok 3. Czynniki przeciwne. $3 - x$ i $x - 3$ różnią się tylko znakiem: $3 - x = -(x - 3)$. Zapisujemy więc licznik z czynnikiem $(x - 3)$:

$\frac{2x(3 - x)}{(x - 3)^2} = \frac{-2x(x - 3)}{(x - 3)(x - 3)}.$

Krok 4. Skracamy jeden czynnik $(x - 3)$. W mianowniku zostaje drugi:

$\frac{-2x(x - 3)}{(x - 3)(x - 3)} = -\frac{2x}{x - 3}.$

Uwaga: bez wyciągnięcia minusa łatwo napisać $\frac{2x}{x - 3}$ - to błąd znaku. Sprawdzenie dla $x = 1$: wyrażenie wyjściowe to $\frac{6 - 2}{1 - 6 + 9} = \frac{4}{4} = 1$, a wynik $-\frac{2}{1 - 3} = 1$. Zgadza się.

Odpowiedź. $-\dfrac{2x}{x - 3}$ (czyli $\dfrac{2x}{3 - x}$) dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$.