W której ćwiartce leży kąt 2, −2, 5 i 11 radianów? Znaki sinusa i cosinusa

Krok 1. Granice ćwiartek jako liczby. Bierzemy $\pi \approx 3{,}1416$:

$\frac{\pi}{2} \approx 1{,}571, \qquad \pi \approx 3{,}142, \qquad \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712, \qquad 2\pi \approx 6{,}283.$

Uwaga: liczba $2$ oznacza tu $2$ radiany, czyli około $114{,}6^\circ$, a nie $2^\circ$. Tak samo $\sin 2 \approx 0{,}909$, podczas gdy $\sin 2^\circ \approx 0{,}035$.

Krok 2. Przykład a). $1{,}571 < 2 < 3{,}142$, czyli $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ - II ćwiartka: $\sin 2 > 0$, $\cos 2 < 0$.

Krok 3. Przykład b). Kąt ujemny - dodajemy pełny obrót: $-2 + 2\pi \approx 4{,}283$, a $3{,}142 < 4{,}283 < 4{,}712$, więc III ćwiartka: $\sin(-2) < 0$, $\cos(-2) < 0$.

To samo widać bez dodawania: $-\pi < -2 < -\frac{\pi}{2}$, a obrót o ten kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara kończy się w III ćwiartce.

Krok 4. Przykład c). $4{,}712 < 5 < 6{,}283$, czyli $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ - IV ćwiartka: $\sin 5 < 0$, $\cos 5 > 0$.

Krok 5. Przykład d) - pełny obrót. $11 > 2\pi$, więc odejmujemy $2\pi$:

$11 - 2\pi \approx 11 - 6{,}2832 = 4{,}7168.$

Krok 6. Przykład d) - granica jest tuż obok. Wynik jest bardzo bliski $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}7124$. Trzeba więc rozstrzygnąć dokładnie, czy $11 - 2\pi > \frac{3\pi}{2}$. Ta nierówność jest równoważna kolejno:

$11 > \frac{7\pi}{2} \iff \pi < \frac{22}{7}.$

A $\pi < \frac{22}{7} \approx 3{,}142857$ to znane oszacowanie Archimedesa ($\pi \approx 3{,}141593$). Ponieważ także $11 - 2\pi < 2\pi$, kąt leży w IV ćwiartce, tuż za ujemną półosią $OY$: $\sin 11 < 0$, $\cos 11 > 0$.

Uwaga: przy zaokrągleniu $\pi \approx 3{,}14$ dostaniemy $11 - 6{,}28 = 4{,}72$ i $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ - wynik ten sam, bo zaokrąglenie $\pi$ w dół akurat sprzyja tej odpowiedzi. Przy zgrubnym $\pi \approx 3{,}15$ wyszłoby $11 - 6{,}30 = 4{,}70$ i $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}725$, czyli fałszywie III ćwiartka. Przy tak małej różnicy warto mieć dowód, a nie przybliżenie. Rzeczywiście $\cos 11 \approx 0{,}0044$ - cosinus jest dodatni, choć bardzo bliski zera.

Odpowiedź. a) II ćwiartka, $\sin > 0$, $\cos < 0$; b) III ćwiartka, $\sin < 0$, $\cos < 0$; c) IV ćwiartka, $\sin < 0$, $\cos > 0$; d) IV ćwiartka, $\sin < 0$, $\cos > 0$.