Wskazówki zegara od 3:00 do 3:40 - kąt skierowany w radianach, droga końca wskazówki i pole

Krok 1. Kierunek obrotu. Wskazówki kręcą się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, więc w ujęciu kąta skierowanego ich obrót ma miarę ujemną.

Krok 2. Przykład a). Minutowa robi pełny obrót $2\pi$ w $60$ minut. W $40$ minut wykonuje $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ obrotu:

$\frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}, \qquad \text{kąt skierowany: } -\frac{4\pi}{3} \ (\text{czyli } -240^\circ).$

Krok 3. Przykład b). Koniec wskazówki porusza się po łuku okręgu o promieniu $9$ cm. Długość łuku nie zależy od kierunku, więc bierzemy wartość bezwzględną kąta:

$l = r\alpha = 9 \cdot \frac{4\pi}{3} = 12\pi \ \text{cm} \approx 37{,}7 \ \text{cm}.$

Krok 4. Przykład c) - kąt. Godzinowa robi pełny obrót w $12$ godzin, czyli w $720$ minut. W $40$ minut:

$\frac{40}{720} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{9}, \qquad \text{kąt skierowany: } -\frac{\pi}{9} \ (\text{czyli } -20^\circ).$

Krok 5. Przykład c) - pole. Wskazówka godzinowa zakreśla wycinek koła o promieniu $6$ cm:

$P = \tfrac{1}{2} r^2 \alpha = \tfrac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{9} = 2\pi \ \text{cm}^2 \approx 6{,}28 \ \text{cm}^2.$

Krok 6. Przykład d). Kąt $-\frac{7\pi}{2}$ to obrót zgodny z ruchem wskazówek o $\frac{7\pi}{2} : 2\pi = \frac{7}{4}$ obrotu. Jeden obrót minutowej trwa $60$ minut:

$\frac{7}{4} \cdot 60 = 105 \ \text{minut}.$

Czyli o godzinie $4{:}45$ - po pełnym obrocie i jeszcze trzech czwartych obrotu wskazówka minutowa wskazuje „9”.

Uwaga: odpowiedź $\frac{4\pi}{3}$ (bez minusa) w a) jest błędna, jeśli pytanie dotyczy kąta skierowanego. Znak niesie informację o kierunku obrotu - bez niego przesunięcie wskazówki o $40$ minut naprzód i cofnięcie jej o $40$ minut miałyby ten sam opis.

Odpowiedź. a) $-\frac{4\pi}{3}$; b) $12\pi \approx 37{,}7$ cm; c) $-\frac{\pi}{9}$, pole $2\pi \approx 6{,}28 \ \text{cm}^2$; d) po $105$ minutach (o $4{:}45$).