Kąt skierowany: sprowadź −5π/6, 23π/3, −13π/4 i −765° do przedziału [0, 2π) i podaj ćwiartkę

Krok 1. Zasada. Kąty $\alpha$ i $\alpha + 2k\pi$ (w stopniach $\alpha + k \cdot 360^\circ$), $k \in \mathbb{Z}$, mają to samo ramię końcowe. Dodajemy więc albo odejmujemy pełne obroty, aż trafimy do przedziału $[0, 2\pi)$. Granice ćwiartek to $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$.

Krok 2. Przykład a). Dodajemy jeden pełny obrót:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi = -\frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.$

Ponieważ $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$, ramię leży w III ćwiartce (to kąt $210^\circ$).

Krok 3. Przykład b). $\frac{23\pi}{3} = 7\frac{2}{3}\pi$, więc odejmujemy trzy pełne obroty, czyli $6\pi = \frac{18\pi}{3}$:

$\frac{23\pi}{3} - 6\pi = \frac{5\pi}{3}.$

$\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ - IV ćwiartka (kąt $300^\circ$).

Krok 4. Przykład c). Jeden obrót nie wystarcza ($-\frac{13\pi}{4} + 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$ jest nadal ujemne), dodajemy więc dwa, czyli $4\pi = \frac{16\pi}{4}$:

$-\frac{13\pi}{4} + 4\pi = \frac{3\pi}{4}.$

$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$ - II ćwiartka (kąt $135^\circ$).

Krok 5. Przykład d). $765^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 45^\circ$, więc dodajemy trzy pełne obroty:

$-765^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -765^\circ + 1080^\circ = 315^\circ.$

$270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$ - IV ćwiartka.

Uwaga: kąt $-765^\circ$ to obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara: dwa pełne obroty i jeszcze $45^\circ$ w dół od osi $OX$. Dlatego wylądował w IV, a nie w I ćwiartce, jak $765^\circ$.

Odpowiedź. a) $\frac{7\pi}{6}$, III ćwiartka; b) $\frac{5\pi}{3}$, IV ćwiartka; c) $\frac{3\pi}{4}$, II ćwiartka; d) $315^\circ$, IV ćwiartka.