Oblicz sin(5π/6) + cos(4π/3), tg(7π/4) · ctg(−2π/3), sin(25π/6), cos(−17π/3)

Najprościej zamienić kąt na stopnie (wstawiając $180^\circ$ w miejsce $\pi$) i skorzystać ze wzorów redukcyjnych. Przy dużych kątach najpierw odejmujemy wielokrotność $2\pi$.

Krok 1. Przykład a). $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ i $\frac{4\pi}{3} = 240^\circ$:

$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \qquad \cos 240^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2},$

więc suma wynosi $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

Krok 2. Przykład b) - tangens. $\frac{7\pi}{4} = 315^\circ = 360^\circ - 45^\circ$, IV ćwiartka, tangens ujemny:

$\operatorname{tg}\frac{7\pi}{4} = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = -1.$

Krok 3. Przykład b) - cotangens. Cotangens zmienia znak razem z kątem, a $\frac{2\pi}{3} = 120^\circ$ leży w II ćwiartce, gdzie cotangens jest ujemny:

$\operatorname{ctg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\operatorname{ctg}\frac{2\pi}{3} = -\left(-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Iloczyn: $(-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Krok 4. Przykład c). $\frac{25\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$, czyli dwa pełne obroty i jeszcze $\frac{\pi}{6}$:

$\sin\frac{25\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$

Krok 5. Przykład d). Cosinus nie reaguje na znak kąta, a $\frac{17\pi}{3} = \frac{18\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = 6\pi - \frac{\pi}{3}$:

$\cos\left(-\frac{17\pi}{3}\right) = \cos\frac{17\pi}{3} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$

Uwaga: zamiast przeliczać $\frac{25\pi}{6}$ na $750^\circ$ i odejmować pełne obroty, szybciej jest wydzielić z licznika największą wielokrotność $12$ (bo $2\pi = \frac{12\pi}{6}$), a z $17$ - najbliższą wielokrotność $6$ (bo $2\pi = \frac{6\pi}{3}$).

Odpowiedź. a) $0$, b) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, c) $\frac{1}{2}$, d) $\frac{1}{2}$.