Długość łuku i pole wycinka w radianach: r = 6, kąt 5π/6; pole 12 i r = 4

Gdy kąt $\alpha$ jest w radianach, wzory nie mają ułamka $\frac{\alpha}{360^\circ}$:

$l = r\alpha, \qquad P = \tfrac{1}{2} r^2 \alpha.$

Krok 1. Przykład a) - łuk.

$l = 6 \cdot \frac{5\pi}{6} = 5\pi \ \text{cm} \approx 15{,}71 \ \text{cm}.$

Krok 2. Przykład a) - pole wycinka.

$P = \tfrac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{5\pi}{6} = 18 \cdot \frac{5\pi}{6} = 15\pi \ \text{cm}^2 \approx 47{,}12 \ \text{cm}^2.$

Kontrola wzorem $P = \tfrac{1}{2} l r$: $\tfrac{1}{2} \cdot 5\pi \cdot 6 = 15\pi$. Zgadza się.

Krok 3. Przykład b) - kąt. Przekształcamy wzór na pole: $\alpha = \frac{2P}{r^2}$.

$\alpha = \frac{2 \cdot 12}{4^2} = \frac{24}{16} = 1{,}5 \ \text{rad}, \qquad 1{,}5 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 85{,}9^\circ.$

Kąt wyszedł bez $\pi$ - to zupełnie normalne. Miara łukowa jest liczbą rzeczywistą i nie musi być „ładną” częścią $\pi$.

Krok 4. Przykład b) - łuk i obwód. Obwód wycinka to dwa promienie i łuk:

$l = r\alpha = 4 \cdot 1{,}5 = 6 \ \text{cm}, \qquad L = 2r + l = 8 + 6 = 14 \ \text{cm}.$

Uwaga: wstawienie do wzoru $l = r\alpha$ kąta w stopniach ($4 \cdot 85{,}9$) dałoby absurdalny łuk dłuższy niż cały okrąg. Wzory bez $\frac{\alpha}{360^\circ}$ działają tylko w radianach.

Odpowiedź. a) $l = 5\pi \approx 15{,}71$ cm, $P = 15\pi \approx 47{,}12 \ \text{cm}^2$; b) $\alpha = 1{,}5 \ \text{rad} \approx 85{,}9^\circ$, $l = 6$ cm, obwód $14$ cm.