Kąty ujemne i większe od 360°: sin(−45°), cos(−150°), tg 765°, cos(−600°)

Krok 1. Przykład a). Kąty $\alpha$ i $-\alpha$ mają ramiona symetryczne względem osi $OX$, więc sinus zmienia znak:

$\sin(-45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Krok 2. Przykład b). Cosinus przy zmianie znaku kąta się nie zmienia, $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Dalej $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$ leży w II ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny:

$\cos(-150^\circ) = \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Uwaga: częsty błąd to zapis $\cos(-150^\circ) = -\cos 150^\circ$. Minus „wyciągamy” przed funkcję tylko przy sinusie, tangensie i cotangensie.

Krok 3. Przykład c). Tangens powtarza wartości co $180^\circ$, więc odejmujemy wielokrotność $180^\circ$. Ponieważ $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$:

$\operatorname{tg} 765^\circ = \operatorname{tg}(765^\circ - 4 \cdot 180^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1.$

Ten sam wynik dają dwa pełne obroty: $765^\circ - 2 \cdot 360^\circ = 45^\circ$.

Krok 4. Przykład d). Cosinus ma okres $360^\circ$. Dodajemy dwa pełne obroty, żeby dostać kąt z przedziału $[0^\circ, 360^\circ)$:

$-600^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 120^\circ.$

Kąt $120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$ leży w II ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny:

$\cos(-600^\circ) = \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.$

Odpowiedź. a) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, b) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, c) $1$, d) $-\frac{1}{2}$.