Wzory redukcyjne: oblicz sin 135°, cos 210°, tg 150° i ctg 315°

W każdym przykładzie robimy to samo: rozpisujemy kąt jako $180^\circ \pm \alpha$ albo $360^\circ - \alpha$ z ostrym $\alpha$ (wtedy nazwa funkcji się nie zmienia), a znak bierzemy z ćwiartki, w której leży cały kąt.

Krok 1. Przykład a). $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$, kąt leży w II ćwiartce, a tam sinus jest dodatni:

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Krok 2. Przykład b). $210^\circ = 180^\circ + 30^\circ$, kąt leży w III ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny:

$\cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Widać to na okręgu jednostkowym: ramię kąta $210^\circ$ tworzy z ujemną półosią $OX$ kąt $30^\circ$, a punkt na okręgu ma obie współrzędne ujemne.

Krok 3. Przykład c). $150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$, II ćwiartka - tangens jest tam ujemny:

$\operatorname{tg} 150^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg} 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Krok 4. Przykład d). $315^\circ = 360^\circ - 45^\circ$, IV ćwiartka - cotangens jest tam ujemny:

$\operatorname{ctg} 315^\circ = \operatorname{ctg}(360^\circ - 45^\circ) = -\operatorname{ctg} 45^\circ = -1.$

Uwaga: znak ustalamy dla funkcji, którą liczymy, w ćwiartce całego kąta - nie dla kąta $45^\circ$ czy $30^\circ$, który zawsze daje wartości dodatnie.

Odpowiedź. a) $\frac{\sqrt{2}}{2}$, b) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, c) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, d) $-1$.