Oblicz wartość wyrażenia: (sin 120° · cos 330° − tg 225°) : cos 240°

Krok 1. Wartości potrzebne w a). Każdy kąt rozpisujemy przez $180^\circ$ lub $360^\circ$ i bierzemy znak z ćwiartki:

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos 330^\circ = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},$

$\operatorname{tg} 225^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1, \qquad \cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.$

Tangens w III ćwiartce jest dodatni, cosinus w III ćwiartce - ujemny, a w IV ćwiartce - dodatni.

Krok 2. Rachunek w a). Najpierw licznik, potem dzielenie:

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4} - 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}.$

Krok 3. Wartości potrzebne w b).

$\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \operatorname{ctg} 120^\circ = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Krok 4. Rachunek w b). Kwadraty usuwają minusy, ale wartości i tak trzeba było policzyć poprawnie:

$\cos^2 150^\circ - \sin^2 240^\circ + \operatorname{ctg}^2 120^\circ = \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

Uwaga: $\operatorname{ctg}^2 120^\circ$ to $(\operatorname{ctg} 120^\circ)^2$, a nie $\operatorname{ctg}(120^\circ)^2$ - podnosimy do kwadratu wartość funkcji, nie kąt.

Odpowiedź. a) $\frac{1}{2}$, b) $\frac{1}{3}$.