Uprość wyrażenie: sin(180° − α) + cos(90° + α) + tg(180° + α) · ctg(360° − α)

Każdy wzór redukcyjny odtwarzamy dwoma pytaniami: czy zmienia się nazwa (przy $90^\circ$ i $270^\circ$ - tak) i jaki znak ma funkcja wyjściowa w ćwiartce całego kąta, gdy wyobrazimy sobie $\alpha$ jako kąt ostry.

Krok 1. Składniki a).

• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ - nazwa zostaje, II ćwiartka, sinus dodatni;
• $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$ - nazwa się zmienia, II ćwiartka, cosinus ujemny;
• $\operatorname{tg}(180^\circ + \alpha) = \operatorname{tg}\alpha$ - III ćwiartka, tangens dodatni;
• $\operatorname{ctg}(360^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$ - IV ćwiartka, cotangens ujemny.

Krok 2. Składamy a). Iloczyn tangensa i cotangensa tego samego kąta jest równy $1$:

$\sin\alpha - \sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha \cdot (-\operatorname{ctg}\alpha) = 0 - 1 = -1.$

Krok 3. Składniki b).

• $\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin\alpha$ - nazwa się zmienia, III ćwiartka, cosinus ujemny;
• $\operatorname{tg}(90^\circ + \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$ - nazwa się zmienia, II ćwiartka, tangens ujemny;
• $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$ - III ćwiartka, sinus ujemny.

Krok 4. Składamy b). W liczniku dwa minusy dają plus, a $\sin\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \cos\alpha$:

$\frac{(-\sin\alpha) \cdot (-\operatorname{ctg}\alpha)}{-\sin\alpha} = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\operatorname{ctg}\alpha.$

Uwaga: przy $\cos(270^\circ - \alpha)$ łatwo zapomnieć o zmianie nazwy i napisać $-\cos\alpha$. Kąt $270^\circ$ leży na osi pionowej, więc cosinus przechodzi w sinus.

Krok 5. Kiedy wynik ma sens. W a) tangens i cotangens kąta $\alpha$ muszą istnieć jednocześnie, więc $\alpha$ nie może być wielokrotnością $90^\circ$: $\alpha \neq k \cdot 90^\circ$, $k \in \mathbb{Z}$. W b) trzeba tylko, żeby istniał $\operatorname{tg}(90^\circ + \alpha)$ i żeby mianownik nie był zerem - oba warunki oznaczają $\sin\alpha \neq 0$, czyli $\alpha \neq k \cdot 180^\circ$. Na przykład dla $\alpha = 90^\circ$ wyrażenie b) ma wartość $\frac{\cos 180^\circ \cdot \operatorname{tg} 180^\circ}{\sin 270^\circ} = \frac{(-1) \cdot 0}{-1} = 0$, tak jak $-\operatorname{ctg} 90^\circ = 0$.

Odpowiedź. a) $-1$ (dla $\alpha \neq k \cdot 90^\circ$), b) $-\operatorname{ctg}\alpha$ (dla $\alpha \neq k \cdot 180^\circ$).