Oblicz bez kalkulatora: sin²10° + sin²20° + … + sin²80° i tg 10° · tg 20° · … · tg 80°

Żadnej z tych wartości (poza $30^\circ$ i $60^\circ$) nie znamy dokładnie. Trik polega na łączeniu kątów w pary, które wzór redukcyjny zamienia na tę samą funkcję.

Krok 1. Pary w a). Kąty $10^\circ$ i $80^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$, więc $\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$. Z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ = \sin^2 10^\circ + \cos^2 10^\circ = 1.$

Tak samo łączymy $20^\circ$ z $70^\circ$, $30^\circ$ z $60^\circ$ i $40^\circ$ z $50^\circ$.

Krok 2. Wynik a). Osiem składników tworzy cztery pary, każda o sumie $1$:

$\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \ldots + \sin^2 80^\circ = 4 \cdot 1 = 4.$

Krok 3. Pary w b). Teraz $\operatorname{tg} 80^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ - 10^\circ) = \operatorname{ctg} 10^\circ$, a tangens i cotangens tego samego kąta mnożą się do $1$:

$\operatorname{tg} 10^\circ \cdot \operatorname{tg} 80^\circ = \operatorname{tg} 10^\circ \cdot \operatorname{ctg} 10^\circ = 1.$

Cztery takie pary ($10^\circ$ i $80^\circ$, $20^\circ$ i $70^\circ$, $30^\circ$ i $60^\circ$, $40^\circ$ i $50^\circ$) dają iloczyn $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Krok 4. Pary w c). Tym razem kąty dopełniają się do $180^\circ$, a w II ćwiartce cosinus jest ujemny: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. Na przykład

$\cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ, \qquad \cos 20^\circ + \cos 160^\circ = 0.$

Pary $20^\circ$ i $160^\circ$, $40^\circ$ i $140^\circ$, $60^\circ$ i $120^\circ$, $80^\circ$ i $100^\circ$ znoszą się całkowicie, więc suma wynosi $0$.

Uwaga: wzór $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ dałby przy sinusach sumę par równą $2\sin\alpha$, a nie zero. Znak zależy od funkcji - to dlatego ten sam trik działa dla cosinusa, a dla sinusa już nie.

Odpowiedź. a) $4$, b) $1$, c) $0$.