Wiadomo, że sin 20° = a. Wyraź przez a: sin 200°, cos 110°, sin 520°, cos(−70°), tg 160°, ctg 250°

Każdy kąt rozpisujemy tak, żeby pojawił się kąt $20^\circ$. Przy rozkładzie przez $90^\circ$ albo $270^\circ$ funkcja zmienia nazwę - i właśnie dzięki temu cosinus może dać sinus $20^\circ$.

Krok 1. Przykład a). $200^\circ = 180^\circ + 20^\circ$, III ćwiartka, sinus ujemny:

$\sin 200^\circ = -\sin 20^\circ = -a.$

Krok 2. Przykład b). $110^\circ = 90^\circ + 20^\circ$ - cosinus zmienia się w sinus, a w II ćwiartce cosinus jest ujemny:

$\cos 110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ = -a.$

Krok 3. Przykład c). Najpierw pełny obrót: $520^\circ - 360^\circ = 160^\circ = 180^\circ - 20^\circ$, II ćwiartka, sinus dodatni:

$\sin 520^\circ = \sin 160^\circ = \sin 20^\circ = a.$

Krok 4. Przykład d). Cosinus nie reaguje na znak kąta, a $70^\circ = 90^\circ - 20^\circ$:

$\cos(-70^\circ) = \cos 70^\circ = \cos(90^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ = a.$

Krok 5. Cosinus kąta 20°. Do tangensa i cotangensa potrzebny jest $\cos 20^\circ$. Z jedynki trygonometrycznej $\cos^2 20^\circ = 1 - a^2$, a kąt $20^\circ$ jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$\cos 20^\circ = \sqrt{1 - a^2}.$

Krok 6. Przykład e). $160^\circ = 180^\circ - 20^\circ$, II ćwiartka, tangens ujemny:

$\operatorname{tg} 160^\circ = -\operatorname{tg} 20^\circ = -\frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}.$

Krok 7. Przykład f). $250^\circ = 270^\circ - 20^\circ$ - cotangens zmienia się w tangens, a w III ćwiartce cotangens jest dodatni:

$\operatorname{ctg} 250^\circ = \operatorname{ctg}(270^\circ - 20^\circ) = \operatorname{tg} 20^\circ = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}.$

Uwaga: wynik f) można sprawdzić drugą drogą: $250^\circ = 180^\circ + 70^\circ$, więc $\operatorname{ctg} 250^\circ = \operatorname{ctg} 70^\circ = \operatorname{tg} 20^\circ$. Ta sama wartość - tak warto kontrolować każdy wzór redukcyjny z $90^\circ$ lub $270^\circ$.

Odpowiedź. a) $-a$, b) $-a$, c) $a$, d) $a$, e) $-\dfrac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$, f) $\dfrac{a}{\sqrt{1 - a^2}}$.