Kąty trójkąta: sin(α + β) = sin γ, cos(α + β) = −cos γ - uzasadnij i oblicz tg γ

Krok 1. Suma kątów. W każdym trójkącie $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, więc

$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma.$

Krok 2. Przykład a). Stosujemy wzory redukcyjne dla kąta $180^\circ - \gamma$ (nazwa się nie zmienia, sinus w II ćwiartce dodatni, cosinus ujemny):

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma, \qquad \cos(\alpha + \beta) = \cos(180^\circ - \gamma) = -\cos\gamma.$

Wzory redukcyjne są prawdziwe dla każdego kąta, więc nie ma znaczenia, czy $\gamma$ jest ostry, prosty czy rozwarty.

Krok 3. Przykład b). Dzielimy równość z kroku 1 przez $2$:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}.$

Przy $90^\circ$ funkcja zmienia nazwę, a kąt $90^\circ - \frac{\gamma}{2}$ jest ostry, więc znak jest dodatni:

$\sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin\left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = \cos\frac{\gamma}{2}.$

Krok 4. Przykład c) - cosinus kąta γ. Z części a):

$\cos\gamma = -\cos(\alpha + \beta) = -\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{3}{5}.$

Krok 5. Sinus kąta γ. Z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\gamma = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Kąt trójkąta leży między $0^\circ$ a $180^\circ$, a tam sinus jest dodatni, więc bierzemy tylko pierwiastek dodatni:

$\sin\gamma = \frac{4}{5}.$

Krok 6. Tangens.

$\operatorname{tg}\gamma = \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}.$

Uwaga: łatwo przepisać znak z danych i uznać, że $\cos\gamma = -\frac{3}{5}$ - wtedy kąt $\gamma$ wyszedłby rozwarty, a tangens ujemny. Ujemny jest cosinus kąta $\alpha + \beta$, nie kąta $\gamma$.

Odpowiedź. a), b) - uzasadnione wyżej; c) $\operatorname{tg}\gamma = \frac{4}{3}$.