Losowanie dwóch liczb ze zbioru {1, ..., 15} - prawdopodobieństwo, że suma jest parzysta

Krok 1. Przestrzeń. Losujemy dwuelementowy podzbiór zbioru $15$-elementowego:

$|\Omega| = \binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105.$

Krok 2. Kiedy suma jest parzysta? Suma dwóch liczb całkowitych jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie są tej samej parzystości: obie parzyste albo obie nieparzyste.

W zbiorze $\{1, \ldots, 15\}$ jest $8$ liczb nieparzystych ($1, 3, \ldots, 15$) i $7$ parzystych ($2, 4, \ldots, 14$).

Krok 3. Zdarzenia sprzyjające. Niech $A$ - „suma parzysta”. Przypadki są rozłączne:

• obie nieparzyste: $\binom{8}{2} = 28$,
• obie parzyste: $\binom{7}{2} = 21$.

Stąd $|A| = 28 + 21 = 49$.

Krok 4. Prawdopodobieństwo.

$P(A) = \frac{49}{105} = \frac{7}{15}.$

Uwaga o pułapce. Odpowiedź $\tfrac{1}{2}$ byłaby prawdziwa przy losowaniu ze zwracaniem z równej liczby parzystych i nieparzystych. Tu liczby są różne, a nieparzystych jest o jedną więcej - wynik jest nieco mniejszy od połowy, bo para „parzysta + nieparzysta” ($8 \cdot 7 = 56$ możliwości) przeważa.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{7}{15}$.