Równanie zwrotne: x⁴ − 5x³ + 8x² − 5x + 1 = 0

Krok 1. Rozpoznajemy równanie zwrotne. Współczynniki $1, -5, 8, -5, 1$ czytane od końca są takie same. Dla takich równań działa podstawienie $t = x + \frac{1}{x}$.

Krok 2. Czy wolno dzielić przez $x^2$? Sprawdzamy $x = 0$: lewa strona równa się $1 \neq 0$, więc $0$ nie jest rozwiązaniem i dzielenie przez $x^2$ niczego nie zgubi:

$x^2 - 5x + 8 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 8 = 0.$

Uwaga. Zakaz dzielenia przez $x$ dotyczy sytuacji, gdy $x = 0$ może być rozwiązaniem. Tutaj najpierw to wykluczyliśmy - i dopiero wtedy dzielenie jest poprawne.

Krok 3. Podstawienie. Niech $t = x + \frac{1}{x}$. Wtedy

$t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2.$

Równanie przyjmuje postać

$t^2 - 2 - 5t + 8 = 0 \iff t^2 - 5t + 6 = 0 \iff (t - 2)(t - 3) = 0.$

Krok 4. Przypadek $t = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \iff (x - 1)^2 = 0 \iff x = 1.$

Krok 5. Przypadek $t = 3$:

$x + \frac{1}{x} = 3 \iff x^2 - 3x + 1 = 0, \qquad \Delta = 9 - 4 = 5, \qquad x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \ \text{ lub } \ x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}.$

Krok 6. Kontrola przez rozkład. Z obu przypadków wynika rozkład

$x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = (x - 1)^2(x^2 - 3x + 1),$

co łatwo sprawdzić wymnożeniem. Liczba $1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym.

Odpowiedź. $x \in \left\{\frac{3 - \sqrt{5}}{2},\ 1,\ \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right\}$.