Równanie czwartego stopnia ze schematem Hornera: x⁴ − 3x³ − 5x² + 9x − 2 = 0

Krok 1. Kandydaci na pierwiastki całkowite - dzielniki wyrazu wolnego $-2$: $\ \pm 1,\ \pm 2$. Współczynnik przy $x^4$ to $1$, więc innych kandydatów wymiernych nie ma.

Krok 2. Suma współczynników: $W(1) = 1 - 3 - 5 + 9 - 2 = 0$. Dzielimy schematem Hornera przez $(x - 1)$:

$W(x) = (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 7x + 2).$

Krok 3. Pierwiastek ilorazu $Q(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 2$. Kandydaci znowu $\pm 1, \pm 2$:

$Q(1) = -6, \qquad Q(-1) = 6, \qquad Q(2) = -12, \qquad Q(-2) = -8 - 8 + 14 + 2 = 0.$

Krok 4. Drugie dzielenie - przez $(x + 2)$:

$W(x) = (x - 1)(x + 2)(x^2 - 4x + 1).$

Krok 5. Trójmian kwadratowy:

$\Delta = 16 - 4 = 12, \qquad \sqrt{\Delta} = 2\sqrt{3}, \qquad x = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}, \qquad x = 2 + \sqrt{3}.$

Uwaga. Pierwiastki $2 \pm \sqrt{3}$ są niewymierne, więc nie było ich na liście kandydatów. Lista kandydatów pomaga znaleźć tylko pierwiastki wymierne - resztę daje ostatni trójmian.

Odpowiedź. $x \in \left\{-2,\ 2 - \sqrt{3},\ 1,\ 2 + \sqrt{3}\right\}$.