Równanie z podstawieniem: (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0

Krok 1. Wyrażenie $x^2 + x$ powtarza się - podstawiamy $t = x^2 + x$ zamiast wymnażać (wymnożenie dałoby równanie czwartego stopnia):

$t^2 - 8t + 12 = 0.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie w $t$:

$\Delta = 64 - 48 = 16, \qquad t_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2, \qquad t_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6.$

Tutaj nie ma warunku $t \geq 0$ - wyrażenie $x^2 + x$ może być ujemne (najmniejszą wartość $-\frac{1}{4}$ przyjmuje w $x = -\frac{1}{2}$). Oba $t$ są i tak większe od $-\frac{1}{4}$.

Krok 3. Pierwsze równanie: $x^2 + x = 2$:

$x^2 + x - 2 = 0 \iff (x + 2)(x - 1) = 0 \iff x = -2 \ \text{ lub } \ x = 1.$

Krok 4. Drugie równanie: $x^2 + x = 6$:

$x^2 + x - 6 = 0 \iff (x + 3)(x - 2) = 0 \iff x = -3 \ \text{ lub } \ x = 2.$

Sprawdzenie dla $x = -3$: $\ x^2 + x = 6$, więc $36 - 48 + 12 = 0$.

Odpowiedź. $x \in \{-3,\ -2,\ 1,\ 2\}$.