Równanie dwukwadratowe: x⁴ + 12 = 7x²

Krok 1. Porządkujemy równanie:

$x^4 - 7x^2 + 12 = 0.$

Występują tylko potęgi parzyste - to równanie dwukwadratowe.

Krok 2. Podstawienie $t = x^2$, przy czym $t \geq 0$:

$t^2 - 7t + 12 = 0.$

Krok 3. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta = 49 - 48 = 1, \qquad t_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3, \qquad t_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4.$

Oba są nieujemne, więc oba zostają.

Krok 4. Wracamy do $x$:

$x^2 = 3 \ \Longrightarrow\ x = -\sqrt{3} \ \text{ lub } \ x = \sqrt{3}, \qquad x^2 = 4 \ \Longrightarrow\ x = -2 \ \text{ lub } \ x = 2.$

Uwaga. Rozwiązaniem równania są wartości $x$, a nie $t$. Odpowiedź „$t = 3$ lub $t = 4$” to dopiero połowa zadania - każde $t > 0$ daje dwa przeciwne $x$.

Odpowiedź. $x \in \left\{-2,\ -\sqrt{3},\ \sqrt{3},\ 2\right\}$.