Oszacuj (1/2)^√10 i porównaj z 1/8

Krok 1. Szacowanie wykładnika. $9 < 10 < 16$, więc $3 < \sqrt{10} < 4$.

Krok 2. Przejście do potęg. Podstawa $\frac{1}{2}$ jest mniejsza od $1$, więc funkcja $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ jest malejąca - większemu wykładnikowi odpowiada mniejsza potęga:

$3 < \sqrt{10} < 4 \quad\Longrightarrow\quad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4} < \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{10}} < \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}$

czyli $\frac{1}{16} < \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{10}} < \frac{1}{8}$. Szukane liczby to $k = 3$ i $k + 1 = 4$.

Krok 3. Porównanie z 1/8. Z prawej nierówności wynika wprost, że $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{10}} < \frac{1}{8}$.

Odpowiedź. $k = 3$; liczba $\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{10}}$ leży między $\frac{1}{16}$ a $\frac{1}{8}$, więc nie jest większa od $\frac{1}{8}$ (kalkulator daje około $0{,}112$, a $\frac{1}{8} = 0{,}125$).

Pułapka: przepisanie nierówności $3 < \sqrt{10} < 4$ „bez zmiany zwrotu” daje $\frac{1}{8} < \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{10}} < \frac{1}{16}$ - a to jest niemożliwe, bo $\frac{1}{8} > \frac{1}{16}$. Taka sprzeczność to dobry sygnał, że zwrot trzeba było odwrócić.